Л.М.Гиндилис "Павел Александрович Флоренский: Мнимости в геометрии"

Одним из выдающихся космистов и одним из основоположников нового космического мышления, несомненно, был Павел Александрович Флоренский. Масштаб его личности и его вклад в философию и науку охватить трудно. Прекрасный очерк жизненного и творческого пути П.А.Флоренского содержится в книге Л.В.Шапошниковой «Вселенная Мастера» [1]. Я остановлюсь на одной очень интересной, не полностью оцененной и вызывающей противоречивые суждения работе П.А. Флоренского «Мнимости в геометрии» [2].

Павел Александрович начал эту работу в августе 1902 г., будучи еще студентом. Весной 1921 года он вновь вернулся к этой теме и добавил весьма важное обобщение – переход от геометрии на плоскости к геометрии на криволинейной поверхности. В таком виде работа докладывалась на заседании Всероссийской Ассоциации Инженеров (23 октября 1921 г.). А в 1922 г. в связи с появившейся возможностью издания книги П.А.Флоренский добавил (по-видимому, наспех) последний – и важнейший! – параграф, посвященный устройству Мироздания.

1. Несколько слов о мнимых числах

Считается, что мнимые числа впервые упоминаются в труде Дж. Кардано (1545), который считал их бесполезными и непригодными к употреблению. Позднее, уже в 17 веке, И.Ньютон также не включил мнимые величины в понятие числа. А Лейбницу принадлежит очень проницательное утверждение: « Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» [3]. Как мы увидим, такое понимание близко и П.А.Флоренскому.

Современный человек знакомится с мнимыми числами в курсе школьной математики. Причем это знакомство выглядит очень странно. Вначале ученику в течение нескольких лет упорно внушают, что произведение любых отрицательных чисел есть число положительное. В частности, произведение отрицательного числа само на себя есть число положительное. Поэтому корень квадратный из отрицательного числа не имеет смысла. И, если при решении алгебраических уравнений появляется решение с отрицательным подкоренным выражением, то оно отбрасывается. Однако после того, как ученик твердо усвоит это положение, ему вдруг заявляют: хотя, не может существовать, давайте обозначим его через i ( = i) и будем называть это число мнимой единицей. Теперь, давайте умножим мнимую единицу на произвольное действительное число а, тогда получим мнимое число аi. Прибавим к нему действительное число b, получим комплексное число ai + b. Величина ai называется мнимой частью комплексного числа, а величина b – его действительной частью. После этих определений учащихся обучают, как производить арифметические действия над комплексными числами (складывать, вычитать, умножать, делить). Независимо от успехов обучения, в душе все-таки остается сомнение – а существуют ли мнимые числа, и если нет, так зачем все это нужно? В высшей школе представления о комплексных числах расширяются. Вводится понятие о функциях комплексного переменного, определяются операции дифференцирования и интегрирования.

Вопрос о том, зачем нужны мнимые и комплексные числа, получает некоторое разрешение в физике. Дело в том, что в ряде ее разделов (например, в электродинамике) развитый в математике аппарат мнимых чисел широко используется для выполнения промежуточных математических преобразований; они оказываются проще, чем при преобразованиях с действительными числами. Однако для сопоставления с результатами физического эксперимента берется либо действительная часть полученного в результате вычисления комплексного выражения, либо модуль его мнимой части. Получается, что комплексные числа представляют собой просто удобный метод вычисления, и никакого реального смысла не имеют. Нечто подобное имеет место (точнее, до последнего времени имело место) в математике многомерных пространств. Полученные здесь результаты и развитый аппарат также успешно использовались для решения научных задач, в том числе прикладного значения. (Например, К.Шенном очень красиво доказал свою знаменитую теорему о пропускной способности канала связи, рассматривая N-мерное фазовое пространство и используя свойства N-мерной сферы). При этом считалось, что наше реальное физическое пространство трехмерно, а многомерные пространства – математические абстракции, позволяющие успешно решать некоторые задачи. Сейчас от этого представления пришлось отказаться. По современным представлениям, наша трехмерная Вселенная возникает из многомерного пространства, которое вполне реально.

Уместно поставить вопрос – какая реальность стоит за мнимыми числами? В отличие от классической физики, в квантовой механике и теории относительности комплексные числа становятся востребованными. В квантовой механике функция состояния выражается комплексными числами. Причем, по мнению некоторых физиков, их использование не связано только с вычислительными процедурами, а они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики. Что касается теории относительности, то в ее четырехмерном пространстве-времени одна из координат выражается мнимыми числами. Но если это так, если комплексные числа приобретают какую-то физическую реальность, то тем более встает вопрос – каким образом «несуществующие» и «не имеющие смысла» величины могут выражать что-то реальное, какова природа этих чисел?

2. Реальны ли мнимые числа?

Существует способ введения комплексных чисел, исходно не связанный с представлением о корне квадратном из отрицательного числа. Комплексное число z записывается в форме z = x + iy. В этой записи числа x и y – вещественные, а величина i для всех комплексных чисел одна и та же. Таким образом, всякое комплексное число z характеризуется парой вещественных чисел (x ; y), в которой x изображает вещественную часть комплексного числа, а y есть коэффициент при i в мнимой части. Чтобы не возникало путаницы, необходимо рассматривать упорядоченную пару, и условиться, какое число пары соответствует вещественной части комплексного числа, и какое – мнимой. Принимается, что первое число пары соответствует вещественной части, а второе – мнимой.

Рассмотрим упорядоченную пару вещественных чисел (x ; y). Введем арифметические операции над ними так, чтобы они соответствовали операциям над комплексными числами, а именно:

( x ; y ) + ( u ; v ) = ( x + u ; y + v ) ,

( x ; y ) × ( u ; v ) = ( x u – y v ; x v + y u ) .

Операции вычитания и деления для простоты не рассматриваем. Такая пара вещественных чисел обладает всеми свойствами комплексного числа, и ее можно принять за определение комплексных чисел.

Можно показать, что число вида ( x ; 0) с равной нулю второй компонентой соответствует действительным числам ( x ; 0) = x. То есть, действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, а последние можно рассматривать как расширение понятия вещественного числа. При этом в множестве определенных таким образом чисел естественно возникает корень квадратный из отрицательного числа. Рассмотрим число вида (0 ; y) с равной нулю первой компонентой. Согласно правилам умножения упорядоченных пар,

( 0 ; y ) × ( 0 ; y ) = ( 0 ; y ) 2 = ( – y 2 ; 0 ) = – y 2 ,

Следовательно, (0 ; y ) = . Так как y – действительное число, его квадрат есть число положительное, следовательно, – y 2 есть число отрицательное, и, значит, число вида (0 ; y ) есть корень квадратный из отрицательного числа. В частности, полагая y = 1, получим: (0 ; 1) = = i.

Таким образом, упорядоченные пары вида (0 ; y) с равной нулю первой составляющей – это и есть те объекты, которые были названы мнимыми. Но никакой мнимости в них нет. Упорядоченные пары – это более широкий класс чисел, для которых корень квадратный из отрицательного числа имеет смысл, а для вещественных чисел он действительно не имеет смысла.

На протяжении своего развития математика постоянно сталкивалась с необходимостью расширения понятия числа. Первоначально под числом понимались только целые положительные числа, обозначавшие определенное количество чего-то (два яблока, пять баранов). Но уже в античной древности были известны и дробные числа, выражавшие часть, долю какого-то количества (пол яблока, четверть арбуза). Других чисел в то время не знали. Отсюда возникла «тайна мирового диссонанса». Пифагорейцы считали, что числа правят миром, и число выражает все, что есть на свете. Между тем оказалось, что диагональ квадрата со стороной равной единице не может быть выражена никаким числом. Согласно Теореме Пифагора, квадрат диагонали равен 2. Но таких целых или дробных чисел, квадрат которых равняется 2, не существует, это можно было доказать. Получалось, что всемогущее число не может выразить такой простой вещи, как диагональ квадрата со стороной, равной 1. Пифагорейцы назвали это тайной мирового диссонанса и засекретили свое открытие. Между тем сегодня мы знаем, что никакого диссонанса здесь нет. Просто кроме целых и дробных чисел существует бесконечное множество чисел, не являющихся ни целыми, ни дробными. Эти числа были названы иррациональными, что отражало непостижимый на первый взгляд характер этих чисел. В этом смысле название «иррациональное число» ничуть не лучше, чем «мнимое». Среди иррациональных чисел было выделено множество трансцендентных чисел, к которым относятся число π – отношение длины окружности к ее диаметру и число е – основание натуральных логарифмов. Очень трудно входило в математику и понятие отрицательного числа. Совокупность всех чисел – целых и дробных, положительных и отрицательных – получило название рациональных чисел. А совокупность рациональных и иррациональных чисел была названа действительными или вещественными числами. Вещественные числа стали изображаться точками на прямой – числовой оси. При этом было установлено взаимно однозначное соответствие между вещественными числами и точками числовой оси: каждой точке соответствует определенное вещественное число, и наоборот: каждому вещественному числу соответствует определенная точка числовой оси. Если изобразить на числовой оси только рациональные числа, то между ними останутся пустоты, а совокупность вещественных чисел покрывает числовую ось плотно, без всяких промежутков. Так путем обобщения понятия числа была решена тайна «мирового диссонанса». В этом ключе введение комплексных чисел является еще одним шагом на пути обобщения понятия числа. Согласно теореме Фробениуса, множество комплексных чисел представляет единственно допустимую возможность расширения множества вещественных чисел с сохранением всех алгебраических свойств последних. Существуют еще гиперкомплексные числа, но это уже другая история.

3. Геометрическое представление комплексных чисел

В современной математике широко используется геометрическое представление (геометрическая интерпретация) комплексных чисел. Вещественные числа изображаются точками на числовой оси, полностью покрывая ее. Для изображения комплексных чисел места на числовой оси нет. Комплексное число z = x + iy , или упорядоченная пара (x ; y) вещественных чисел, изображается на плоскости с прямоугольными декартовыми координатами точкой, имеющей координаты (x, y). Точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками на оси абсцисс, а мнимые – точками на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Плоскость, содержащая действительную и мнимую ось, называется комплексной плоскостью. Между комплексными числами z = x + iy и соответствующими точками z комплексной плоскости имеется взаимнооднозначное соответствие.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Используется также изображение комплексного числа с помощью радиуса-вектора OZ (O – точка начала координат). Проекция вектора на ось абсцисс равна x, а проекция на ось ординат равна y. Абсолютная величина радиуса вектора называется модулем комплексного числа, а угол φ между радиусом-вектором и осью абсцисс называется аргументом комплексного числа. С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число можно выразить в тригонометрической форме: . А с помощью формулы Эйлера:

можно тригонометрическую форму комплексного числа преобразовать в показательную. Именно эта форма комплексного числа весьма удобна в преобразованиях с комплексными выражениями, о чем говорилось выше. (Позволю себе небольшое отступление. Полагая φ = π/2, получим . Трудно отделаться от впечатления мистичности этой формулы. Математические закономерности Мироздания хранят многие тайны!).

4. Интерпретация мнимостей по Флоренскому

Надо сказать, П.А.Флоренский был хорошо знаком с геометрической интерпретацией комплексных чисел; в примечании к § 1 своей книги он дает достаточно полный обзор основных работ в этой области. Признавая плодотворность такой интерпретации как полезного инструмента анализа при изучении функций комплексного переменного, Флоренский, тем не менее, счел необходимым предложить иную геометрическую интерпретацию комплексных чисел.

Обосновывая этот шаг, он высказывает важные методологические соображения. Всякое истолкование мира (природы) есть некая система образов (есть некая модель, как мы бы сказали сегодня). Никакая модель не дает точного описания мира, подобно тому, как перевод литературного произведения «не покрывает подлинника во всех его оттенках и деталях». Поэтому рано или поздно наступает момент, когда расхождение между теоретической моделью и действительностью становится нетерпимой, и теория должна быть заменена новой. Всякий символ, пишет Флоренский (скажем – всякая теоретическая модель) с успехом применяется лишь в определенной, свойственной ей сфере (области применимости), а за ее пределами образ «расплывается, теряет четкость и скорее мешает работе, чем помогает ей». Иными словами, модель перестает работать и должна быть заменена новой теорией. Развитие физики в начале ХХ века убедительно показало, что старая классическая картина мира не работает в области микромира и в области больших скоростей в макромире. Применительно к геометрической интерпретации комплексных чисел дело обстояло не так. Интерпретация Гаусса-Коши прекрасно работала (и работает до настоящего времени). Зачем же тогда нужна иная интерпретация? Флоренский указывает на то, что наличие нескольких переводов поэтического произведения «не только не мешают друг другу, но и восполняют друг друга, хотя ни один не заменяет всецело подлинника». «Так и научные картины одной и той же реальности,– пишет Флоренский, – могут и должны быть умножаемы – вовсе не ущерб истине». Но если наблюдается гипертрофия того или иного перевода, «пытающегося отождествить себя с подлинником и заменить его собою», – тогда необходимо вспомнить об ограниченности любой интерпретации и указать «зазнавшейся интерпретации» ее место и область ее применимости.

Одним из доводов против общепринятой интерпретации Флоренский считает то обстоятельство, что для изображения функции комплексного переменного на комплексной плоскости не остается места, ибо вся она занята изображением независимой переменной. Поэтому функцию приходится размещать на самостоятельной плоскости (точнее поверхности), и «самая связь двух переменных остается никак не представленной геометрически». Далее, Флоренский отмечает, что двоичность комплексных чисел (x, y) в обычном истолковании связывается с двумерностью координатной плоскости. Но мы не можем сделать такого шага, говорит Флоренский, ибо двумерность плоскости уже использована для интерпретации функции действительного переменного (кривая на плоскости, выражающая функциональную зависимость). Эти доводы не вполне понятны и не кажутся убедительными. Однако интерпретация Флоренского настолько интересна и важна сама по себе, что на эту нестрогость (если она имеет место) можно не обращать внимание.

Задача, которую ставит Флоренский, формулируется так: «расширить область двумерных образов геометрии так, чтобы в систему пространственных представлений вошли и мнимые образы». При этом необходимо найти в пространстве место для мнимых образов, «ничего не отнимая от уже занявших свои места образов действительных».

Как этого добиться? Решение, которое предлагает Флоренский, является радикальным и революционным, по сути. Он рассматривает плоскость (а в дальнейшем криволинейную гауссову поверхность) как двустороннее образование. Одна сторона поверхности (назовем ее внешней) содержит действительные точки; другая сторона поверхности (назовем ее внутренней) – мнимые точки. На одну сторону поверхности, например внешнюю, наблюдатель смотрит со стороны «северного полюса», на другую (внутреннюю) – со стороны «южного полюса». Геометрические фигуры на внешней и внутренней сторонах являются зеркальными отображениями друг друга. Это можно себе представить, если плоскость рассматривать как бесконечно протяженную пластину очень малой, но ненулевой толщины. Однако математическая плоскость имеет нулевую толщину. Как тут быть? Флоренский справляется с этой трудностью путем предельного перехода, как это принято в математике.

5. Обоснование интерпретации Флоренского

Обоснование новой интерпретации Флоренский начинает с выбора единицы измерения. Обычно за единицу измерения в геометрии принимается линейная мера, а единицы площади и объема получаются как квадрат или куб выбранной линейной меры. Флоренский считает такой подход неправильным. В геометрии, говорит он, мы изучаем пространство, а не линии, точки и поверхности, как таковые. Нас интересуют свойства пространства, выражающиеся через них, а не эти образования сами по себе. Поэтому за единицу измерения мы должны брать величину однородную с изучаемым объектом. В частности, при изучении двумерных, площадных фигур и, вообще двумерных многообразий – плоскостей, криволинейных поверхностей – мы должны брать за единицу меры не линейный отрезок, а определенную площадь, например площадь квадрата, принимаемую за единицу площади. Это первый шаг.

Далее Флоренский обращает внимание на то, что в аналитической геометрии площадь треугольника (а значит, и других фигур) при изменении направления обхода вершин меняет знак, оставаясь неизменной по абсолютной величине. Обычно этим удовлетворяются, принимая за величину площади именно ее абсолютную величину (модуль площади) и не придавая значения ее знаку. Флоренский считает, что площадь может быть как положительной, так и отрицательной. Обосновывая это положение, он рассмотрел аналитически различные коллинеарные преобразования треугольника на плоскости и показал, что при всех таких преобразованиях абсолютная величина площади не меняется, а знак, вообще говоря, может изменяться. Вывод о возможности отрицательных площадей – это второй шаг в обосновании Флоренского.

Поставим теперь вопрос – при каких именно преобразованиях меняется знак площади. Исследуя этот вопрос, Флоренский показал, что если мы ограничимся движениями треугольника в рассматриваемом плоском пространстве, то знак площади при таких преобразованиях не меняется. Но, если мы выйдем в третье измерение, перевернем треугольник на другую сторону и вновь положим на ту же плоскость, то в результате изменится направление обхода и, следовательно, изменится знак площади. Значит, заключает Флоренский, переворачивание в третьем измерении и есть то искомое движение, которое меняет знак треугольника. Результат, полученный для треугольника, можно обобщить на любую плоскую фигуру, ограниченную замкнутой ломаной линией, так как ее можно разбить на отдельные треугольники. А переходя к пределу, можно распространить этот результат на любую криволинейную площадь, ограниченную каким угодно контуром. Для плоских фигур нет существенного различия между сторонами (внешней и внутренней). Но для кривых поверхностей различие между внешней (выпуклой) и внутренней (вогнутой)1 сторонами становится существенным. Итак, связь между знаком площади и внешней или внутренней стороной фигуры есть третий шаг в обосновании Флоренского.

В предыдущем рассуждении предполагалось, что наблюдатель смотрит на фигуру с определенного направления, а сама фигура переворачивается относительно него той или другой стороной. Но того же результата можно добиться, если фигура остается неподвижной, а наблюдатель перемещается относительно нее в пространстве и теперь смотрит на нее с противоположной стороны. Как определить, с какой именно стороны смотрит наблюдатель? Для этого надо задать абсолютное направление обхода. Это можно сделать с помощью какого-либо физического процесса. Например, разместить на фигуре часы с прозрачным циферблатом, так чтобы можно было наблюдать за движением стрелок с той и с другой стороны фигуры; или можно пустить электрический ток по контуру фигуры. Условимся: если наблюдатель видит, что обход совершается против часовой стрелки, значит, он находится на положительном конце нормали к поверхности, т.е. со стороны положительной поверхности; если он видит, что обход совершается по часовой стрелке, то наблюдатель находится на отрицательном конце нормали к поверхности, т.е. с отрицательной стороны поверхности.

«Таким образом, – пишет Флоренский, – всякий вырезок плоскости с одной стороны положителен, а с другой – отрицателен, и потому вся плоскость с одной стороны положительна, а с другой отрицательна. Сторона плоскости характеризуется знаком любой, вырезанной из плоскости площадки. Плоскость стала как бы прозрачна, и когда мы видим на ней площадки разных знаков, то это теперь уже должно быть относимо не за счет разного смысла [направления] их обходов, каковой может быть только одним абсолютным, а за счет различных сторон плоскости, к которым приурочиваются рассматриваемые площадки».

Очень важным в обосновании Флоренского является установление физического смысла введенного понятия полярности плоскости как геометрического образа. Он рассматривает различные примеры; магнитный листок, двойной электрический слой, термопару и др. В качестве иллюстрации напомним явление электромагнитной индукции. Если замкнутый проводящий контур находится в переменном магнитном поле, то в нем возникает электрический ток индукции. Причем направление тока зависит от направления магнитного поля. Если силовые линии входят в плоскость витка, условно говоря, «сверху» – с положительной стороны плоскости, по Флоренскому, направление тока будет одно, а если силовые линии входят с отрицательной стороны плоскости, направление тока будет другое (знаменитое «правило буравчика») из школьной физики.

Теперь остается сделать последний шаг в обосновании мнимостей. Вспомним, что за единицу меры при изучении двумерных многообразий принята определенная площадь, а не квадрат линейной величины. Иными словами, площадь надо считать величиною первого измерения, а всякий отрезок на ней величиною измерения 1/2, потому что он получается через извлечение квадратного корня из площади. Вырежем на плоскости квадрат единичной площади. Эта площадь, в зависимости от того, относится ли она к внешней или внутренней стороне поверхности, может быть как положительной, так и отрицательной. Если площадь положительна, то сторона квадрата равна ±1, если площадь отрицательна, то сторона квадрата равна ±i. Получаем важный вывод: сторона квадрата отрицательной площади мнима. Но это значит, что мнимым должен быть всякий отрезок прямой на внутренней стороне плоскости (если внешняя сторона положительна). Сказанное относится не только к отрезкам прямой, но и к любой дуге, ибо ее можно рассматривать как предел суммы прямолинейных звеньев вписанной в дугу линии. Но если это так, то мнимыми будут координаты любой точки на внутренней стороне плоскости. В то время как точки на внешней стороне плоскости будут иметь действительные координаты. Итак, «новая интерпретация мнимостей, – пишет Флоренский, – заключается в открытии оборотной стороны плоскости и приурочения этой стороне – области мнимых чисел».

6. Геометрия мнимостей Флоренского

В геометрии Флоренского действительные точки имеют две действительные координаты, мнимые точки – две мнимые координаты. Но тогда из соображений общности должны быть еще четыре вида точек: полумнимые (у которых одна координата действительная, а другая мнимая), полукомплексные (одна координата действительная, другая комплексная), мнимо комплексные (одна координата мнимая, другая комплексная) и, наконец, комплексные, у которых обе координаты комплексные числа. Здесь возникает трудность с местоположением этих точек. Если действительные точки расположены на одной стороне плоскости (например, сверху), а мнимые – на другой стороне (снизу), то где располагаются полумнимые точки? Флоренский считает, что они располагаются внутри самой плоскости, между ее сторонами. Как это понимать? Флоренский предлагает следующее пояснение. Возьмем бесконечную пластину ненулевой величины δ. На верхней стороне (верхней грани) пластины проведем прямую линию, она будет образована действительными точками. На нижней стороне проведем другую линию, она будет образована мнимыми точками. Теперь будем уменьшать величину δ, стремя ее к нулю. Тогда толщина слоя будет уменьшаться, и линии, оставаясь каждая на своей стороне, будут сближаться. В пределе, когда грани сольются, линии пересекутся в некоторой точке. Эта точка будет полумнимой, ибо через нее проходит одна прямая действительная, а другая мнимая. Отсюда Флоренский и делает вывод, что полумнимая точка и до пересечения прямых располагалась внутри плоскости между ее сторонами.

Наибольшая трудность связана с изображением комплексных чисел вида x + iy. Если плоскость рассматривать как некий пласт ненулевой толщины, то комплексную точку «можно представлять себе в виде штифта, проходящего через всю толщину пласта насквозь и выходящего на обратной стороне ее». Соответственно, прямые и кривые линии, уравнения которых выражаются комплексными величинами, «прорезают плоскость насквозь» в виде цилиндрических поверхностей с образующими, нормальными к плоскости.

Насколько правомерно рассматривать плоскость, имеющую ненулевую величину? Флоренский вновь обращается здесь к физическим аналогиям. Он приводит пример двойного магнитного и электрического слоя. Полное отрицание за ними протяжения (толщины слоя) уничтожило бы их магнитное или электрическое действие. С другой стороны, придание их толщине конечных размеров нарушило бы элементарный характер этих образований. Исходя из этого, Флоренский считает правомерным «толковать толщину плоскости как отнюдь не нулевую величину, но – актуально бесконечно малую», так же как толщину магнитного листка, двойного токового слоя и т.п. Флоренский полностью отдает себе отчет в недостаточной логической обоснованности представлений об актуально бесконечно малых, но не считает возможным входить в обсуждение этих тонких и доселе еще не разрешенных проблем.

В связи с этим сделаем одно замечание. В истории науки не раз случалось, что новые модели и методы исследований не сразу удавалось обосновать достаточно строго. Они прекрасно работали, давали хорошие результаты при сопоставлении с опытом, но логически были недостаточно обоснованы. Так, исчисление бесконечно малых, открытое Ньютоном и Лейбницем в XVII веке, было строго обосновано математиками только в XIX веке. А квантовая механика, возникшая в начале ХХ века, несмотря на выдающиеся результаты в описании микромира, до сих пор строго не обоснована.

Важным шагом в развитии геометрии мнимостей является обобщение истолкования мнимостей на плоскости – на любые поверхности. Флоренский указывает, что здесь следует различать поверхности односторонние и двусторонние. На двусторонних поверхностях точки с одной стороны действительные, с другой – мнимые (как и на плоскости). На односторонних поверхностях точки могут быть или только действительными, или только мнимыми. Важным свойством односторонних поверхностей является поворот нормали на 180о при обходе по замкнутому контуру на этой поверхности.

7. Вселенная Данте-Флоренского

Обратимся теперь к заключительному параграфу «Мнимостей в геометрии». Как мы уже отмечали, этот параграф был включен в книгу в последний момент, когда выявилась возможность ее публикации. В начале параграфа Флоренский признается, что он не претендует на полную обоснованность изложенных здесь мыслей, и что ему хотелось откликнуться на шестисотлетний юбилей кончины автора «Божественной Комедии» Данте Алигьери.

Вселенная, которую описывает Данте, включает сферу Земли, окруженную сферами небесных светил, небом неподвижных звезд, кристальным небом и, наконец, эмпиреем. Следует сразу подчеркнуть, что вселенная Данте не имеет отношения к нашему физическому (или плотному, вещественному) плану Бытия. Данте вместе с Вергилием путешествуют по Тонкому Мира, и его вселенная относится к Тонкому Миру. Флоренский, видимо, не делает различия между мирами (см. ниже), но он отмечает одну важную особенность вселенной Данте: в ней не применима евклидова геометрия.

Путешествие Данте начинается во Флоренции. Вместе со своим провожатым Вергилием они спускаются по кручам воронкообразного Ада. При этом они сохраняют вертикальное положение – головою к месту спуска и ногами к центру Земли. Достигнув низшей точки своего спуска, оба поэта внезапно переворачиваются ногами к поверхности Земли, откуда они вошли в подземное царство. Далее поэт восходит на гору Чистилища и возносится через небесные сферы к Эмпирею. При этом Данте все время движется по прямой, и на небе он стоит обращенный ногами к месту своего спуска, к Земле. В конце концов, он возвращается во Флоренцию, откуда начал свое путешествие.

Флоренский относится к описанию Данте как к действительности и комментирует его следующим образом: «Итак, двигаясь все время вперед по прямой и перевернувшись раз в пути, поэт приходит на прежнее место в том же положении, в каком он уходил с него. Следовательно, если бы он по дороге не перевернулся, то прибыл бы по прямой на место своего отправления уже вверх ногами. Значит, поверхность, по которой двигается Дант, такова, что прямая на ней с одним перворотом направления дает возврат к прежней точке в прямом положении; а прямолинейное движение без переворота – возвращает тело к прежней точке перевернутым. Очевидно, это поверхность: 1о как содержащая замкнутые прямые, есть риманновская плоскость, и 2о как переворачивающая при движении по ней перпендикуляр, есть поверхность односторонняя. Эти два обстоятельства достаточны для геометрического охарактеризования Дантова пространства, как построенного по типу эллиптической геометрии». Флоренский полагает, что это обстоятельство подтверждает средневековое представление о конечности мира. Насколько эти соображения справедливы, мы обсудим ниже. Флоренский отмечает, что эти общегеометрические соображения получили недавно неожиданное конкретное обоснование: «с точки зрения современной физики мировое пространство должно быть мыслимо именно как пространство эллиптическое, и признается конечным, равно как и время – конечное и замкнутое в себе». Вероятно, Флоренский имеет в виду космологическую модель А.Эйнштейна (1917 г.), согласно которой Вселенная имеет конечный объем, геометрия Евклида в этом мире неприменима, в нем действует геометрия Римана, это замкнутый мир постоянной положительной кривизны.

Представляет интерес трактовка предельной скорости движения (равной скорости света) во вселенной Данте-Флоренского. Что собственно означает предельная величина скорости? – спрашивает Флоренский. И отвечает: «Это значит вовсе не невозможность скоростей равных и больших с, а – лишь появление вместе с ними вполне новых, пока нами наглядно непредставимых, если угодно – трансцендентных нашему земному, кантовскому опыту, условий жизни; но это вовсе не значит, чтобы таковые условия были немыслимы, а может быть, с расширением области опыта, – и представимыми. Иначе говоря: при скоростях, равных с и тем более – больших с, мировая жизнь качественно отлична от того, что наблюдается при скоростях меньших с, и переход между областями этого качественного различия мыслим только прерывный». Это очень глубокое и совершенно справедливое замечание.2

Постулат постоянства скорости света лежит в основе теории относительности и справедлив в области ее применимости. В не этой области он может не выполняться. Более того, сама теория относительности допускает возможность существования скоростей больших скорости света. Это возможно в мире, где частицы имеют мнимые массы. В физике эти гипотетические частицы получили название «тахионы». Существует ли Мир, где выполняются эти условия? Есть основания полагать, что если такие миры существуют, то они относятся к тонким планам, ибо на вещественном, плотном плане это невозможно. Как мы уже отмечали, вселенная Данте-Флоренского относится к тонким планам, и здесь существование скоростей больших скорости света, в принципе возможно.

Флоренский пробует найти границу перехода к сверхсветовым скоростям во вселенной Данте. В этой вселенной в центре находится Земля, а вокруг нее вращается небосвод, на котором помещаются различные сферы. Период вращения небосвода T равен звездным суткам. Если v – линейная скорость вращения данной сферы, то длина окружности по экватору сферы l = vT, а радиус сферы будет равен R = vT/2π. Подставляя v = 300 000 км/сек, получим R= 4,1 х 109 км = 27,5 астрономических единиц. Это соответствует расстоянию между орбитами Урана и Нептуна. Согласно Флоренскому, эта сфера ограничивает собою земное бытие. Внутри ее – область земных движений и земных явлений. А за ней «начинается мир качественно новый, область небесных движений и небесных явлений – попросту Небо».

Что же происходит на границе между областями? Принимая во внимание значение релятивистской поправки β = (1– v/c2)1/2, получаем: длина всякого тела становится равной нулю, масса бесконечна, а время, измеренное в системе неподвижного наблюдателя, также становится бесконечным. Все это хорошо известно из современной физики. Комментируя эти соотношения, Флоренский пишет: «Иначе говоря, тело утрачивает свою протяженность, переходит в вечность и приобретает абсолютную устойчивость. Разве это не есть пересказ в физических терминах – признаков идеи, по Платону – бестельных, непротяженных, неизменяемых, вечных сущностей? Разве это не аристотелевские чистые формы? Или, наконец, разве это не воинство небесное, – созерцаемое с Земли как звезды, но земным свойствам чуждое?»

А каков мир за границею предельных скоростей? Здесь время течет в обратном направлении, т.е. следствие предшествует причине, а масса и длина тел становятся мнимыми. Теперь можно ответить на вопрос – какая реальность соответствует мнимым числам? Мнимые числа описывают мир за световым барьером. Этот мир относится к тонким планам. Действительные числа описывают мир плотный, вещественный, не случайно они называются вещественными числами. А мнимые описывают мир тонкий.3 Причем, по Флоренскому – не весь Тонкий Мир, а только часть его, находящуюся за световым рубежом.

Как же происходит переход через световой барьер? На основании своей теории мнимостей, Флоренский рисует следующую картину. «Мы наглядно представляем себе, как, стянувшись до нуля, тело проваливается сквозь поверхность – носительницу соответственной координаты, и выворачивается через самого себя, – почему приобретает мнимые характеристики. Выражаясь образно, а при конкретном понимании пространства – и не образно, можно сказать, что пространство ломается при скоростях, больших скорости света, подобно тому, как воздух ломается при движении тел, со скоростями, большими скорости звука; и тогда наступают качественно новые условия существования пространства, характеризуемые мнимыми параметрами. Но, как провал геометрической фигуры означает вовсе не уничтожение ее, а лишь ее переход на другую сторону поверхности и, следовательно, доступность существам, находящимся по ту сторону поверхности, так и мнимость параметров тела должна пониматься не как признак ирреальности его, но – лишь как свидетельство о его переходе в другую действительность. Область мнимостей реальна, постижима, а на языке Данта называется Эмпиреем. Все пространство мы можем представить себе двойным,4 составленным из действительных и из совпадающих с ними мнимых гауссовых координатных поверхностей, но переход от поверхности действительной к поверхности мнимой возможен только через разлом пространства и выворачивание тела через самого себя.5 Пока, мы представляем себе средством к этому процессу только увеличение скоростей, может быть скоростей каких-то частиц тела, за предельную скорость с; но у нас нет доказательств невозможности каких-либо иных средств». Последнее замечание очень существенно.

Не следует искать границу Эмпирея между Ураном и Юпитером в плотном мире, ибо, подчеркнем еще раз, Мир Данте, который описывает Флоренский, есть Мир Тонкий. И здесь нам придется коснуться очень странного заблуждения Флоренского. Речь идет «о реабилитации» геоцентрической Птолемеевской системы мира в противовес гелиоцентрической коперниковой системе. Как ни странно, Флоренский считает ее реальной, не делая никакого различия между плотным и тонким миром. Как известно, система Птоломея использовалась для вычисления координат светил на небесной сфере и давала неплохие результаты. Но по мере повышения точности наблюдений, она стала мало пригодной. С точки зрения этой задачи – вычисления координат – вопрос об истинности той или иной системы не ставится: координаты можно вычислять в любой системе – это вопрос удобства и точности вычислений. Но Флоренский идет гораздо дальше. Он пишет: « Было бы большою ошибкой объявлять системы Коперниковскую и Птолемеевскую равноправными способами понимания: они таковы – только в плоскости отвлеченно-механической, но, по совокупности данных, истинной оказывается последняя, а первая – ложной. Это прямое подтверждение великой поэмы, хотя и более чем через 600 лет». Удивительно, что это написано после полного торжества ньютоновой небесной механики, после вычисления орбиты Нептуна по возмущениям, которые он производит на движение Урана и обнаружения самого Нептуна по вычисленным эфемеридам. Наконец, после того как теория Ньютона была проверена по движениям двойных звезд далеко от Солнечной системы. Надо сказать, что система Птолемея дает положение светил на небесной сфере, но не дает их положения в трехмерном пространстве, понятие трехмерного расстояния в ней отсутствует. Несомненно, система Коперника появилась своевременно, ибо без основанной на ней небесной механики Ньютона невозможно было бы вычислять траектории космических аппаратов. Сейчас, когда космические аппараты летают на планеты, высаживаются на них, совершают возле них сложные гравитационные маневры, чтобы выйти на оптимальные траектории к другим планетам, – сейчас говорить об истинности системы Птолемея, во всяком случае, применительно к физическому плану не приходится.

Утверждение Флоренского, несомненно, ошибочно. Это ошибка гениального человека. И она может пролить некоторый свет на устройство Мироздания. Как уже неоднократно подчеркивалось, Данте путешествовал по тонким планам, и его описание, дополненное соображениями Флоренского, позволяет воссоздать картину Мироздания тонких планов. Будучи человеком высокодуховным, Флоренский, вероятно, жил сразу в двух мирах – плотном и тонком – и, видимо, не всегда делал различие между ними.

8. Мироздание Тонкого Мира

Попытаемся с учетом того, что говорилось выше, а также данных метанаучной космологии, представить себе, как может выглядеть Мироздание Тонкого Мира. Разумеется, изложеное ниже не более чем гипотеза. Прежде всего, несколько замечаний о геоцентрической системе Аристотеля (на которой основана и система Птолемея) и которая была широко распространена в античное время. Среди античных философов были Посвященные, и они не могли не знать о гелиоцентрической системе, которая имеет место на физическом плане Бытия. Отголоски этого знания мы находим в системе мира Аристарха Самосского и, возможно, в учении Пифагора о Центральном Огне. Почему же в античности утвердилась система Аристотеля (известная, конечно, и до него) с небесным сводом, вращающимся вокруг Земли и состоящим из различных сфер. Вряд ли это можно объяснить простым соответствием наблюдаемой картине. Вращение небесного свода действительно можно наблюдать, но то, что он состоит из различных сфер, на которых располагаются светила – это уже чисто умозрительная конструкция. Я думаю, система Аристотеля отражала реальное устройство тонкого мира вокруг планеты.

В отличие от нашего трехмерного физического мира, тонкий мир имеет четыре измерения.

Рис. 2. Схема строения планетной системы в проекции на одну из плоскостей

четырехмерного мира.

Пусть x одна из осей (x, y, z) физического плана Бытия, а u – ось четвертого измерения. Рассмотрим плоскость (x, u), совпадающую с плоскостью чертежа (рис.2). Это есть проекция четырехмерного мира на плоскость чертежа. Все точки на оси x принадлежат физическому плану, а точки вне этой оси – различным слоям Тонкого Мира. Обозначим на оси x точками положение Солнца и планет. Расстояния между точками намеренно выбраны не пропорционально реальным расстояниям между планетами, чтобы упростить чертеж. Вокруг каждой точки проведены окружности различного радиуса, они представляют собой изображения четырехмерных сфер. Пока сферы невелики, они принадлежат тонкому миру данной планеты. По мере увеличения радиуса, сферы начинают сближаться, и при некотором значении соприкасаются между собой. При дальнейшем увеличении сферы начнут пересекаться, так что уже трудно сказать, какой именно планете принадлежит данная сфера. Сферы достаточно большого радиуса охватывают все планеты, они принадлежат всей Солнечной системе. Есть два пути достижения планет. Один вдоль оси x в трехмерном пространстве; этим путем идет современная цивилизация. Другой путь – духовный, в направлении 4-го измерения до достижения соответствующей сферы, которая соприкасается с данной планетой. Вероятно, сферы, принадлежащие только одной планете, соответствуют ее астральному плану. Известно, что в астральном теле можно свободно перемещаться в пределах своей планеты, но нельзя путешествовать на другие планеты. Сферы, соприкасающиеся и пересекающиеся, вероятно принадлежат ментальному плану, ибо в ментале уже можно посещать другие планеты. Сферы, объемлющие Солнце и все планеты, надо думать, принадлежат Огненному Миру Солнечной системы.

Перейдем теперь от гелиоцентрической системы к геоцентрической (рис. 3).

Рис. 3. Переход от гелиоцентрической системы к геоцетрической.

Для упрощения рисунка на нем обозначена только одна ось x. На ней изображены Солнце, Луна и планеты опять-таки без соблюдения масштаба. Поставим ножку циркуля в точку, соответствующую Земле, и проведем окружности через Солнце, Луну и планеты. Получим систему четырехмерных сфер, связанную с Землей. Это и есть геоцентрическая система мира античности. По причинам, которые мы здесь обсуждать не будем, мир античности ограничивался сферой Сатурна. Внутри сферы Луны расположен подлунный мир – область тонкого мира, ближайшая к Земле. Если справедливы прозрения Флоренского, то между сферами Урана и Нептуна располагается граница, отделяющая мир действительных величин от мира мнимых величин. Область внутри этой сферы, хотя и принадлежит к сферам тонкого мира, но описывается действительными величинами. Материя этой области весома, но ее плотность очень мала, поэтому можно думать, что силы гравитации здесь пренебрежимо малы. Тогда в этой области будет действовать не общая, а специальная теория относительности. Заманчиво было бы сопоставить ее с четырехмерным миром Минковского, но для этого требуется провести специальное исследование.

Литература

Шапошникова Л.В. «О, вещая душа моя!» // Вселенная Мастера. М.,2005. С. 611-743.

Флоренский П.А. Мнимости в геометрии. Расширение области двухмерных образов геометрии (опыт нового истолкования мнимостей). М.: «Поморье», 1922.

Математический энциклопедический словарь. М.,1988, с. 279.

Кедров К.А. Поэтическое познание. Метакод. Метафора. // Космическое мировоззрение – новое мышление XXI века. Материалы международной научно-общественной конференции. 2003. Том 1. М., 2004. С. 286-292.

Гиндилис Л.М. Пирамида физического знания // Дельфис, 1996, № 1, с. 79-85.

Тейяр де Шарден. Феномен человека. М.: Наука, 1987.

Лесков Л.В. Вселенная как лист Мебиуса // Земля и Вселенная, 1993. № 2. С. 72-78. Он же. Семантическая Вселенная МБК-концепция // Вестник Моск. ун-та. Серия 7. Философия. 1994. № 4. С. 12-26. Он же. Мэоническая Вселенная // Земля и Вселенная, 1995. № 3. С. 59-66.